Kas yra Fibonačio seka? Kodėl taip ypatingai?

The art of misdirection | Apollo Robbins (Liepa 2019).

Anonim

Matematika yra modelių tyrimas. Nors visi modeliai linkę atitikti griežtas logikos taisykles, tik keli iš jų skatina kūrybiškumą. Man absurdiška, kaip vieną vienos colių lygtį galima trumpam turėti ranką ir leisti jums atkreipti kuo puikiausių skaičių. Nuostabu, kaip šiuos sudėtingus skaičius galima sumažinti iki trijų simbolių ir dviejų lygiagrečių linijų. Aš naudoju terminą "turėti", nes šiuo metu mes aklai darydami tai, ką vadovaujasi lygtys, ir pasikliaujant pranašystė, pradedame pažymėti taškus, kurie iš pradžių atrodo nesuderinami.

Tačiau mes ir toliau sutinkame. Įrankiai šaukia, o nemalonus valdovas atsisako pakelti, kol popieriaus įspūdis iš esmės yra begalinis taškų rinkinys; juodi taškeliai, paliekami pieštuku, ir balti taškai, kuriuos sukasi kompasas. Begalybės taškai greitai ir karštai atsinaujina, kaip logika reikalauja. Nors minimalistiniai malonumai ratu, abstrakcionistas džiaugiasi daugybe.

Tada yra skaitmeniniai modeliai, eilučių numeriai, kurie periodiškai kartoja. Žmonės yra būdingos modelio siekiančios būtybės. Tiesą sakant, mes esame tokie patyrę sujungdami taškus, kad šie modeliai nėra išskirtiniai taškams, bet taip pat apima ir kontekstus. Šablono ar figūros išvaizda su nuogybe ar dorybė koreliuoja dviejų atsiradimą. Jie buvo vargingoji kultų įvairovė daugybėje visuomenių.

Illuminati simbolis & Wow! signalas (Photo Credit: Quintendp099 & NAAPO / Wikimedia Commons)

Yra dievobaimingumo elementas, kurį žmonės jau seniai sieja su tam tikrais skaičiais ir grupėmis, pvz., The Illuminati . Kita vertus, mokslininkai ir matematikai labiau linkusios susieti intelektualų paslaptį su tokiais modeliais. Apsvarstykite Wow! Signalas - abėcėlių modelis, kurį netikėtai gavome iš Ohajo didžiojo aukso radijo teleskopo, primenantis nežemišką veiklą.

Tačiau taip pat egzistuoja skaičių modelis, paskatinantis ne tik paslaptį, bet ir šventumą, nes jis atsiranda tose vietose, kurių niekas nekaltų. Apsvarstykite šį modelį - 13-3-2-21-1-1-8-5 - nužudytą muziejaus kuratorių Jacques Saunière traukia kaip Tomo Hanko užuominą " The Da Vinci Code" .

Fibonacci skaičiai

Leonardo Pisano, visuotinai žinomas kaip "Fibonacci". (Photo Credit: Dr. Manuel vokiečių kalba Wikipedia / Wikimedia Commons)

"Fibonacci" buvo nepaprastai sužavėtas hindu-arabų matematika. Tuo metu europiečiai ir toliau naudojo platų romėnų skaičių, tuo tarpu induizmai ir arabai naudojosi induizmo ir arabų numerių sistemos privalumais - "Base-10" skaičiai nuo 0 iki 9 kartų. Jis nusprendė šias idėjas į Europą paskelbti savo labai gerbiamu darbu Liber Abaci.

Knyga tapo legenda. Tačiau jo populiarumas galiausiai buvo sumažintas iki tik dviejų įnašų: pirma, skaičių sistema, be kurios šiuolaikinės matematikos pažangos nebūtų buvę įmanoma; ir, antra, hipotetinė, nerealu problema, susijusi su triušių veisimu. Fibonacci skaičiai pirmiausia buvo šios problemos sprendimas.

Paslaptingi Fibonacci skaičiai

Galite padalyti seką su bet kuriuo skaičiumi, kad gautumėte tokį ciklinį modelį. Pavyzdžiui, kai skaičiai yra padalinti iš 7, atsiranda 16 skaitmenų. Panašiai, laikotarpis yra 20, kai daliklis yra 5, netgi padalijant 1/3 rezultatų ilga juosta pasikartojančių, identiškų fragmentų. Tačiau matematikai nepasiekė bendrosios formulės, pagal kurią prognozuojama vieno laikotarpio trukmė, kai seka yra padalyta iš tam tikro skaičiaus.

Kitas triukšmingas pasipiktinimas yra begalinis sekantis paslėptas dešiniajame kampe trikampis. Pradedant nuo 5, kiekvienas antrasis skaičius seka yra dešiniajame kampe trikampis, kurio ilgesnė pusė yra visų ankstesnio trikampio pusių suma, o trumpesnė pusė - skirtumas tarp praleidžiamo skaičiaus ir ankstesnio trikampis. Vaizdinis paaiškinimas padės geriau suvokti šiuos trikampius.

Kas tai yra burtininkas?

Abstrakčios matematikos naudingumas buvo pagrindinis argumentas diskusijose dėl klausimo, ar matematika buvo išrastoma ar atrasta. Yra teorijos, kurios iliustruoja aukščiausią matematinio genialumo ir griežtumo laipsnį, bet yra visiškai atskirtos nuo realaus pasaulio. Pavyzdžiui, Newtonas išrado skaičiavimus, ypač norėdamas nustatyti taško, kurį Žemė stebėjo aplink Saulę, lygtys. Žinoma, skaičiavimas pasirodė pelningas ir daugybėje kitų sričių, tačiau galime pasakyti tą patį apie Riemanno hipotezę ?

Tačiau yra retų atvejų, kai tampa labai ezoterinė abstrakčioji matematika. Pavyzdžiui, 1850-aisiais metais Riemann sukūrė savo absurdiškus kreivojo geometrijos koncepcijas, kurios atrodė netaikomos, kol Einšteinas juos panaudojo, norėdamas iš naujo atrasti gravitacijos įstatymus savo Bendrojoje teorijoje apie santykius . Šių matematinių santuokų nenuspėjamumas dar mus traukia.

Tai yra ir Mistinis Fibonacci skaičių pobūdis. Nepaisant to, kad jie buvo aptiktos viduramžiais, jie buvo atrasti ir iš naujo aptiktų, visiems nustebinti, tose vietose, kurių mes niekada nesitikėjomės. Mūsų susižavėjimas "Fibonacci" skaičiumi tęsiasi tiek, kad visas žurnalas yra skirtas jo ypatybėms, vadinamam " Fibonacci" kas ketvirtis.

Apsvarstykite Pascal's trikampį. Kai lošėjas su Pascal konsultuodamasis apie mirties rezultatų tikimybę ir akcijų pobūdį, jis išrado tikimybės teoriją spręsti šias problemas. Pascalio trikampis yra tvarkingas trikampis, kurį sudaro binominiai koeficientai. Trikampis veikia kaip lentelė, į kurią kalbama, plečiant binominę lygtį.

Pascalio trikampis. (Nuotraukų kreditas: RDBury / "Wikimedia Commons")

Tačiau, jei buvote atkreipti įstrižaines, judančių žemyn trikampį ir sumindami skaičių, gyvenančių kiekvienoje atskiroje įstrižainėje, tada numerių serija, prilygstanti kiekvienai įstrižai, kaip rodo galbūt spėjama, yra skaičius Fibonacci. Tikimybių teorija buvo įkurta praėjus 400 metų nuo Liber Abaci paskelbimo.

Arba apsvarstykite Mandelbro rinkinį, matematinę funkciją, kurią galima apibendrinti gražioje diagramoje, parodytoje kompleksinėje plokštumoje. Diagrama, atrodo, yra širdies formos lapelis su mažais pumpurais ant jos kraštų. Šie pumpurai yra pripildyti neįtikėtinai plona erškėčių. Diagrama atspindi fraktalą, struktūrą, kurios kiekviena dalis yra sudaryta iš pačios. Tai reiškia, kad jei norėtumėte išlaikyti didinimą, pamatysite, kad struktūra grįžta į begalinę kilpą.

Mandelbrot nustatytos diagramos. (Photo Credit: Wolfgang Beyer su programa Ultra Fractal 3. / Wikimedia Commons)

Kai mes priartinaime prie kraštų pumpurų, mes matome, kad pumpurys plečiasi į pradinį lapą ir trys nauji pumpurai atsiranda ant kraštų. Jei norite išlaikyti priartėjimą, jis turėtų liudyti, kad ši procesija tęsiasi ir amžinai. Tačiau, žvelgdami giliau ir giliau, pastebime, kad spygliuočių skaičius kiekviename naujame pumpuryje didėja. Skaičių prieaugis imituoja tam tikrą modelį; tai Fibonačio seka! Kas galbūt galėjo tai prognozuoti?

Ši seka taip pat atsiranda ekonomikoje ir paukščių bėgikų kilmės. Jis yra plačiai naudojamas kompiuterių moksle, kur jis naudojamas generuoti apčiuopiamai atsitiktinių skaičių algoritmai vadinami Pseudorandom Number Generators. Aš naudoju tariamai, nes generuoti skaičiai nėra tikrai atsitiktiniai; jie visada priklauso nuo ankstesnio įvedimo.

Jis taip pat naudojamas rūšiuojant algoritmus, kai dalijant plotą į proporcijas, kurios yra du iš eilės išrinktieji Fibonacci skaičiai, o ne dvi lygias dalis. Tai padaro vietovės medžioklę į paprasčiausias matematines operacijas - pridėjimą ir atimimą. Kadangi dvejetainė rūšiavimas (padalijimas į dvi lygias dalis) reikalauja daugybos, dalijimo ir bitų perkėlimo. Ši seka taip pat naudojama įvairiems kitiems svarbiems matematiniams tapatybėms. Tačiau jo svarbiausia paraiška yra mūsų soduose.

"Fibonacci" spiralė

Parthenonas. (Nuotraukų kreditas: "Flickr")

Graikai ilgainiui atrado šią esmę. Pasak jų, gražiausias būdas suskirstyti liniją į dvi dalis yra jas padalyti tokiu santykiu, kad ilgesnė dalis, padalinta iš trumpesnės dalies, būtų lygi visai daliai, susidedančiai iš ilgosios dalies. Jie vadino tai auksiniu santykiu ir jo vertė yra 1.618

.

Todėl jie savo meną ir architektūrą grindžia šiuo santykiu. Pavyzdys yra " The Parthenon" architektūra , kurios pusės yra auksiniame santykyje. Netgi "Renaissance" menininkai buvo tarpusavyje susiję apie šio santykio naudojimą. Daugybė jų meno kūrinių remiasi santykiu, didinančiu jo estetinį apeliaciją.

Ką šis taurusis santykis turi daryti su Fibonacci skaičiais? Kepleris kartą pastebėjo, kad "nuo 5 iki 8 yra 8-13, praktiškai ir nuo 8 iki 13, taigi beveik nuo 13 iki 21". Dviejų iš eilės iš eilės sudarytų "Fibonacci skaičių" santykis yra maždaug lygus * prasidedantiems lėtiems spragoms * auksinis santykis! Tai nurodo Fibonacci skaičių vienai iš labiausiai pripažinta spirale internete.

Fibonacci skaičių kvadratus galima parašyti taip:

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441

.

Nieko paslaptingo? Pridėkime juos kartu:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

Žvelk arčiau ir pastebėsite, kad 6 yra produktas iš 2 ir 3, 15 - produktas iš 3 ir 5, o 40 - produktas iš 5 ir 8. Sąryšis tarp Fibonacci skaičių ir aukso santykio tampa akivaizdus - du skaičiai Šie gaminiai sudaro iš eilės Fibonacci skaičių! Dabar atliksime apibendrintą sumą. Kiekvieną kvadrato formą galima pavaizduoti kvadratu, kurio pusė yra lygi vienetų skaičiui, kuris yra kvadratas.

Taigi vienos kvadratas yra vienos vieneto vieneto kvadratas. Tada ši kvadratas pridedamas prie kito sekos kvadrato - dar vienos šoninio vieneto kvadrato. Be to, 1 × 2 stačiakampis pridedamas prie dviejų šoninių vienetų kvadrato, kuris vėliau papildomas kvadratu iš šoninių trijų vienetų ir pan. Mes suprantame, kad produktai iš tiesų yra šių iškylančių stačiakampių sritys.

Kadangi produktai buvo nuoseklūs Fibonacci skaičiai, galima pastebėti, kad abiejų bet kurio vieno stačiakampio pusių santykis yra auksinis santykis! Kai sumų skaičius artėja prie begalybės, dabartinio didėjančio stačiakampio pusių santykis siekia tikslią santykio reikšmę. Kreivė, prasidedanti nuo centro ir einanti per kiekvieną aikštės kampą, palaipsniui virsta spirale - auksine spirale, nuolatos nukrypsta kampu, vadinamu auksiniu kampu.

Auksinė spiralė "Nautilus" apvalkale ("Nautilus Cutaway Logarithmic Spiral") ir pušies kūgis. (Nuotraukų kreditas: Chrisas 73 / "Wikimedia Commons" ir "Pixabay")

Auksinę spiralę galima rasti daugybėje gamtos vietų, nuo mūsų galaktikos formos iki Nautiluso kriauklės. Jis reguliuoja pušies kūgių ir ananasų vaisių. Mano mėgstamiausia yra jo atsiradimas sėklų sutvarkytuose saulėgrąžų centre. Tačiau, vartojant sąvoką "netvarką", būtų be nieko matyti, kaip griežtai laikomasi gamtos, organizuojant šias sėklas.

Saulėgrąžų sėklos skiriasi aukso kampu. (Nuotraukų kreditas: Remi Jouan / "Wikimedia Commons")

Sėklos nėra lygios kaip rato stipinai; jie palaipsniui nukrypsta į išorę. Nukreipimo kampas yra auksinis kampas. Atrodo, kad prigimtis savanoriškai pasirinko šį santykį, nes apskritimo padalijimas iracionaliu skaičiumi nesukėlė sėklos, kad jo kaimynas būtų vienodo kampo link centro. Dėl to labai veiksminga pakuotė, be to, beveik nėra vietos neigiamai erdvei. Spiralių skaičius, paklausi? 55 vienoje kryptimi, 89 kitoje. Abu Fibonacci skaičiai, žinoma!